# 덧셈 법칙

## 개요

확률론에서 **덧 법칙**(Addition Rule)은 두 사건 중 적어도 하나가 발생할 확률을 계산하는 데 사용되는 기본 원리이다. 이 법칙은 사건 간의 관계, 특히 사건들이 **서로 배타적인지**(mutually exclusive) 여부에 따라 두 가지 형태로 나뉜다. 덧셈 법칙은 확률의 공리적 정의에 기반하며, 복합 사건의 확률을 계산하는 데 핵심적인 역할을 한다. 통계학, 데이터 과학, 의사결정 이론 등 다양한 분야에서 널리 활용된다.

## 기본 개념

확률론에서 사건 $ A $와 $ B $에 대해, **적어도 하나가 발생할 확률**, 즉 $ P(A \cup B) $는 다음과 같은 덧셈 법칙에 의해 정의된다:

$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
$$

여기서:
- $ P(A) $: 사건 $ A $가 발생할 확률
- $ P(B) $: 사건 $ B $가 발생할 확률
- $ P(A \cap B) $: 사건 $ A $와 $ B $가 **동시에** 발생할 확률
- $ P(A \cup B) $: 사건 $ A $ 또는 $ B $가 발생할 확률

이 공식의 핵심은 **중복 계산을 방지**하기 위해 $ P(A \cap B) $를 빼주는 것이다. 만약 $ A $와 $ B $가 동시에 발생할 수 있다면, 단순히 $ P(A) + P(B) $만 더하면 두 사건이 겹치는 부분이 두 번 계산되기 때문이다.

## 서로 배타적인 사건의 경우

두 사건 $ A $와 $ B $가 **서로 배타적**(mutually exclusive)이라면, 즉 동시에 발생할 수 없다면 $ P(A \cap B) = 0 $이 된다. 이 경우 덧셈 법칙은 다음과 같이 단순화된다:

$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
$$

### 예시

주사위를 한 번 던질 때, 다음과 같은 사건을 정의하자:
- $ A $: 홀수의 눈이 나올 사건 → $ A = \{1, 3, 5\} $
- $ B $: 4 이상의 짝수 눈이 나올 사건 → $ B = \{4, 6\} $

이 경우 $ A \cap B = \emptyset $ (공집합)이므로, 두 사건은 서로 배타적이다. 따라서:

$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}
$$

## 일반적인 경우 (서로 배타적이지 않을 때)

서로 배타적이지 않은 사건의 경우, 반드시 교집합의 확률을 빼줘야 정확한 결과를 얻을 수 있다.

### 예시

한 반의 학생 중에서:
- $ A $: 수학을 좋아하는 학생의 비율 → $ P(A) = 0.4 $
- $ B $: 과학을 좋아하는 학생의 비율 → $ P(B) = 0.5 $
- $ A \cap B $: 수학과 과학을 **모두** 좋아하는 학생의 비율 → $ P(A \cap B) = 0.2 $

이때 수학 **또는** 과학을 좋아하는 학생의 비율은:

$$
P(A \cup B) = 0.4 + 0.5 - 0.2 = 0.7
$$

즉, 전체의 70%가 수학 또는 과학을 좋아한다.

## 세 사건 이상으로의 확장

덧셈 법칙은 세 개 이상의 사건으로도 확장할 수 있다. 예를 들어, 세 사건 $ A $, $ B $, $ C $에 대해:

$$
P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)
$$

이러한 확장은 **포함-배제 원리**(Inclusion-Exclusion Principle)에 기반하며, 더 많은 사건이 포함될수록 교집합의 조합이 복잡해진다.

## 주의 사항

- 덧셈 법칙을 적용할 때는 항상 **서로 배타적인지 여부**를 확인해야 한다.
- 교집합의 확률을 무시하면 확률이 1을 초과할 수 있어, 이는 확률의 공리에 위배된다.
- 실생활 문제에서는 사건 간의 독립성과 배타성의 차이를 혼동하기 쉬우므로 주의가 필요하다.

## 관련 법칙 및 개념

- **곱셈 법칙**: 독립 사건의 동시 발생 확률 계산에 사용
- **조건부 확률**: 특정 사건이 주어졌을 때 다른 사건의 확률
- **베이즈 정리**: 조건부 확률의 역계산
- **상호 독립성**: 사건 간의 영향력이 없는 경우

## 참고 자료

- Ross, S. (2014). *A First Course in Probability*. Pearson.
- Grimmett, G., & Stirzaker, D. (2001). *Probability and Random Processes*. Oxford University Press.
- 입문용 확률론 교재: 김도형, 『확률의 이해』, 서울대학교 출판문화원

덧셈 법칙은 확률 계산의 기초이자 핵심 도구로서, 더 복잡한 확률 모델링의 출발점이 된다. 정확한 이해를 바탕으로 다양한 응용 문제를 해결할 수 있다.